Формулы обновления — компакт

Эта глава — краткий справочник. Подробное «откуда берётся» — в главе 5, интерактивный пример — в главе 7.

Posterior — формула Байеса

После каждой попытки сначала вычисляем posterior — обновлённую оценку, принимая в расчёт наблюдение (правильно / неправильно):

$$P(L \mid \text{correct}) = \frac{P(L) \cdot (1 - P(S))}{P(L) \cdot (1 - P(S)) + (1 - P(L)) \cdot P(G)}$$ $$P(L \mid \text{wrong}) = \frac{P(L) \cdot P(S)}{P(L) \cdot P(S) + (1 - P(L)) \cdot (1 - P(G))}$$

Learning step

Затем добавляем шанс «доучиться» в этой попытке:

$$P(L_{\text{new}}) = P_{\text{posterior}} + (1 - P_{\text{posterior}}) \cdot P(T)$$

С $P(T) = 0.1$ ученик всегда хоть немного учится, даже на ошибке.

P(solve) — для предсказания

Когда нужно решить, какую задачу дать дальше, нам нужно знать сейчас — с какой вероятностью ученик решит конкретную задачу:

$$P(\text{solve}) = P(L) \cdot (1 - P(S)) + (1 - P(L)) \cdot P(G)$$

Это «знает И не оплошает» плюс «не знает, но угадает».

Реализация в коде

Эти три формулы — целиком сердце адаптивного движка. В коде они умещаются в 15 строк:

export function pSolve(pL: number, params: BktParams = DEFAULT_BKT): number {
  return pL * (1 - params.pSlip) + (1 - pL) * params.pGuess;
}

export function bktUpdate(
  pL: number,
  observedCorrect: boolean,
  params: BktParams = DEFAULT_BKT
): number {
  const { pSlip, pGuess, pTransit } = params;
  const posterior = observedCorrect
    ? (pL * (1 - pSlip)) / (pL * (1 - pSlip) + (1 - pL) * pGuess)
    : (pL * pSlip) / (pL * pSlip + (1 - pL) * (1 - pGuess));
  return posterior + (1 - posterior) * pTransit;
}

Краткая шпаргалка по формулам

Что	Формула	За что отвечает
Update (correct)	$\frac{P(L)(1-P(S))}{P(L)(1-P(S)) + (1-P(L))P(G)}$	«правильный ответ → больше уверенности»
Update (wrong)	$\frac{P(L)P(S)}{P(L)P(S) + (1-P(L))(1-P(G))}$	«ошибка → меньше уверенности (но не паника)»
Learning	$P_{\text{post}} + (1-P_{\text{post}}) \cdot P(T)$	«можно научиться по ходу»
Predict	$P(L)(1-P(S)) + (1-P(L))P(G)$	«какая вероятность решить?»

Все четыре — детерминированные. Никакой стохастики, никаких черных ящиков, никаких нейронов. Просто арифметика 8-го класса.